自由落体公式推导过程（自由落体运动的规律及应用）

之前的内容学习了自由落体运动，所谓的自由落体运动就是初速度为零，加速度为g的匀变速直线运动。那么匀变速直线运动的公式 ， ， 就可以变形为 ， ， ，这就是自由落体运动的公式。

公式中的加速度g，位移h，末速度 都是矢量，所以解题的时候要规定正方向，通常取竖直向下为正方向，这样速度，加速度和位移就都是正值了。

将位移公式 进行变形得到 ，可以看出做自由落体运动的物体下落的时间只与高度有关，只要知道下落高度就能求出下落时间。

看一个例题，一位青年奋勇接住从15楼不慎跌落的孩子，如果每层楼的高度是2.8m，青年冲到楼下需要1.3s，为了接住孩子，至多允许他有多长的反应时间？（g取 ）

分析：题目中的研究对象是孩子，做的是自由落体运动，想知道落地的时间就需要知道具体的高度，15层地面的高度实际上是14层楼的高度，然后利用公式求出下落时间，再减去青年冲到楼下所用的时间，就是反应时间。

解：设竖直向下为正方向，高度 ，根据公式 得 青年的反应时间就是 。

所以青年至多有1.5s的反应时间。

这道题知道下落的高度，可以直接利用公式求解，再看一道不知道下落高度的题目。

一个小球从屋檐处开始自由下落，经过高度为2m的窗户时所用时间为0.25s，求窗户的顶端距离屋檐的高度是多少？（g取 ）

分析：窗户的高度是小球做自由落体运动位移的一段，所以不能直接用公式求解。对于自由落体运动，必须要从起点开始计算。这样就可以将问题看成两个过程，一个是从屋檐运动到窗户上沿的过程，一个是从屋檐运动到窗户下沿的过程，两个过程的高度差就是窗户的高度。

解：以竖直向下为正方向，设屋檐到窗户上沿的高度为h，所用时间为t，那么屋檐到窗户下沿的高度为h+2m，所用时间为t+0.25s，对这两个过程分别使用位移公式 ，得 ，联立两式解得h=2.28m。

屋檐到窗户顶端的距离为2.28m。

注意：在不知道自由落体总高度的情况下，要找到自由落体的起点，然后将过程分成几个不同的过程，再利用题目的已知条件列方程求解。

再看一下这道题另外的解法，将这个运动看做初速度不为零的匀加速直线运动，设小球到达窗户上沿的速度为 ，窗户的高度为 ，经过窗户所用的时间 ，根据匀变速直线运动的公式 得 ，带入数据得 ；此时求出的速度 就是小球做自由落体运动经过窗户上沿的速度，所以用公式 可得 。

总结

自由落体运动本质是一种匀变速直线运动，求解这一类问题的本质就是匀变速直线运动在某种情况下的应用。当自由落体运动的总高度已知时，可以直接利用公式求出下落时间；在不知道总高度的情况下，既可以从起点开始分段计算，将问题转化成两个自由落体运动的差，也可以只看中间的运动过程，将其看做初速度不为零的匀变速直线运动。