知识要点:
相交线与平行线知识框图
一、相交线
1.邻补角、对顶角的相关概念
(1)邻补角:
如果两个角有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,那么这两个角互为邻补角.
(2)对顶角:
如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线,那么这两个角互为对顶角.
如图,直线 AB 和 CD 相交于 O 点,形成四个角,分别是 ∠1,∠2,∠3,∠4 .
其中邻补角有 4 对,分别是 ∠1 和 ∠2,∠2 和 ∠3,∠3 和 ∠4,∠4 和 ∠1 ;
对顶角有 2 对,分别是 ∠1 和 ∠3,∠2 和 ∠4 .
2.邻补角和对顶角的性质
邻补角 互补;对顶角 相等.
3.邻补角、对顶角的应用
【例题1】如图,直线 a,b 相交,∠1=45°,求 ∠2,∠3,∠4 的度数.
解:
∵ ∠1 + ∠2 = 180°,
∴ ∠2 = 180° – ∠1 = 180° – 45° = 135° .
∵ ∠3 = ∠1,∠4 = ∠2,
∴ ∠3 = 45°,∠4 = 135° .
二、垂线
1.垂线的相关概念
(1)垂直:
两条直线相交,有一个夹角是 直角,这两条直线互相 垂直;
(2)垂线:
两条直线互相 垂直,其中一条直线叫作另一条直线的 垂线 .
2.垂直的性质与判定
如图,
(1) 垂直的性质:
∵ AB⊥CD ( 已知 ),
∴ ∠AOC = 90° ( 垂直的定义 ).
(2)垂直的判定:
∵ ∠AOC=90° ( 已知 ),
∴ AB⊥CD ( 垂直的定义 ) .
3.垂线的性质
在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 .
4.垂线的应用
【例题2】如图,直线 AB 与 CD 相交于点 O,OE⊥AB 于点 O,∠1 = 40°,
求 ∠2 和 ∠COA 的度数 .
解:
∵ OE⊥AB,
∴ ∠BOE = 90°,
∵ ∠2 + ∠BOE + ∠1 = 180°,
∴ ∠2 = 180° – ∠BOE – ∠1 = 50° .
又 ∵ ∠2 + ∠COA = 180°,
∴ ∠COA = 180° – ∠2 = 130° .
三、点到直线的距离
1.垂线段的定义:
如图,直线 PC⊥AB,把线段 PC 叫做点 P 到直线 AB 的 垂线段 .
2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 .
如图,下列选项中最短的线段是 ( B )
A.PA B.PB C.PC D.PD
3.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做这个点到这条直线的距离 .
如图,线段 PB 的长度,叫做点 P 到直线 m 的距离 .
四、同位角、内错角、同旁内角
1.三线八角
如图,直线 AB,CD 被直线 EF 所截,构成八个角,简称“三线八角”.
(1)同侧同向 —— 同位角:
例如 ∠1 和 ∠5,图中还有 ∠4 和 ∠8,∠2 和 ∠6,∠7 和 ∠3;
(2)两侧异向 —— 内错角:
例如 ∠3 和 ∠5,图中还有 ∠4 和 ∠6;
(3)同侧异向 —— 同旁内角:
例如 ∠3 和 ∠6,图中还有 ∠4 和 ∠5 .
2.同位角、内错角、同旁内角
【例题3】如图,
① ∠1 与 ∠4 是同位角;② ∠2 与 ∠1 是内错角 ; ③ ∠3 与 ∠1 是同旁内角 .
3.同位角、内错角、同旁内角的应用
【例题4】如图,
① ∠1 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 同旁内 角 ;
② ∠4 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 同位 角 ;
③ ∠2 和 ∠8 是直线 AF 与直线 AG 被直线 DE 所截形成的 内错 角 .
五、平行线
1.平行线的定义
(1)观察思考:
在转动直线 a 的过程中,有没有直线 a 与直线 b 不相交的位置呢?
(2)定义及表示方法:
在同一平面内,不相交的两条直线 是平行线 .
直线 a 与 b 平行,记作 a∥b .
(3)总结:
同一平面内两条直线的位置关系有两种:① 平行,② 相交 .
2.平行公理及推论
(1)经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行 .
如图,
∵ b∥a,c∥a,∴ b∥c .
3.平行线的判定
(1)判定方法 1:
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成:同位角相等,两直线平行.
如上图所示,用直尺和三角尺作出直线 AB,CD,
得到 AB∥CD 的理由是 同位角相等,两直线平行.
结合图形,用符号语言表述平行线 判定方法:
∵ ∠1=∠2 ( 已知 ),
∴ AB∥CD ( 同位角相等,两直线平行 ) .
(2)判定方法 2:
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么两直线平行.
简单说成:内错角相等,两直线平行.
如图,
∵ ∠1=∠2,
∴ a∥b(内错角相等,两直线平行).
(3)判定方法 3:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行 .
简单说成:同旁内角互补,两直线平行 .
如图,
∵ ∠1 + ∠4 = 180°,
∴ a∥c(同旁内角互补,两直线平行).
(4)判定方法 4:
在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线平行 .
∵ b⊥a , c⊥a ,
∴ b∥c .
4.平行线的性质
(1)两直线平行,同位角相等;
(2)两直线平行,内错角相等;
(3)两直线平行,同旁内角互补 .
【例题5】如图所示,已知 AB∥CD .
(1)∠ABE = 130°,∠CDE = 152°,求 ∠E 的度数;
(2)请猜想 ∠B + ∠E + ∠D 的度数,并说明理由 .
参考答案:
(1)∠E = 78°;
(2)∠B + ∠E + ∠D = 360° .
(提示:过点 E 作 EF∥AB . )
版权声明:本文内容由互联网用户自发贡献,该文观点仅代表作者本人。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如发现本站有涉嫌抄袭侵权/违法违规的内容, 请发送邮件至957126978@qq.com举报,一经查实,本站将立刻删除。